일몰,일출 시각 계산

구면좌표계에서 유도된 일출과 일몰 시각 계산식은 다음과 같다.

 

cos(w) = - tan(delta) * tan(theta)

 

w = 일출 또는 일몰의 시간각(hour angle)

delta = 태양의 적위(하지=23.5, 동지=-23.5, 춘분 또는 추분 = 0)

theta = 관찰자가 있는 위도

 

시간각은 하루를 각으로 표현한 개념이다. 만약 일출 또는 일몰의 시간각이 - 90도 또는 +90도 이면, 일출의 시각은 오전 6시, 일몰의 시각은 오후 6시가 된다. 또한, cos(w)=cos(-w)이므로 시간각(w)는 항상 2개가 존재한다. 예를 들어, cos값이 0.5가 되는 각도는 cos(60도) = cos(-60도) = 0.5, 이렇게 두 개가 존재한다.

예를 들어, 겨울철(동지)에 서울(위도=37.5)에서 해뜨는 시각과 해지는 시각을 구하면 다음과 같다.

우선, 시간각을 구하면,

 

w = arccos ( - tan(-23.5도) * tan(37.5도) ) = +70.5 도 또는 -70.5도

 

한시간은 15도이므로, 70.5도 = 4시간 *15도 + 10.5도, 분을 구하면, 10.5도/15도 * 60 분 = 약 42 분

따라서, 동지에 서울에서 해지는 시각은 오후 4시 42분이다. 또한, 지구가 정확히 구(球)이고, 태양의 남중시각이 정확히 12시라면, 해뜨는 시각과 해지는 시각은 12시에 대해 대칭이다. 예를 들어, 해가 오전 6시에 뜨고, 오후 6시에 진다면, 6+6=12, 오전 5시에 뜨고 오후 7시에 진다면, 5+7=12, 오전 6시 30분에 뜨고 오후 5시 30분에 지면, 6.5+5.5=12 등 이다. 따라서,

 

해뜨는 시각 = 12시- 해지는 시각

 

이므로,  해뜨는 시각은 7시 18분이다. 그런데, 서울은 동경 127도 이지만, 지역시는 동경 135도를 이용한다. 따라서, 실제 해지는 시각과 해뜨는 시각은 약 32분 정도((135도-127도)/15도*60분) 늦어지게 된다. 그래서 4시 42분과 7시 18분에 32분을 각각 더하면, 최종적으로, 동지에 서울의 해지는 시각은 오후 5시 14분이고, 해뜨는 시각은 오전 7시 50분이다.

 

한편, 위의 예에서 동지(12월 22일)에 대해 태양의 적위(delta)를 -23.5로 가정했지만, 태양의 적위는 계절에 따라 변하는 값이다. 임의의 날짜에 대해 태양의 적위는 근사적으로 다음과 같이 계산한다.

 

delta = 23.5 * sin ( (d - 80) * 360 / 365 )

 

여기서, d는 1년 365일을 일(day)로 표현한 일수(day number)를 의미한다. 예를 들어, 1월 1일의 일수(d)는 1이고, 3월 21일의 일수는 80이며, 12월 31일의 일수는 365이다.

 

위의 식은 관찰자가 평평한 지면 위에 있고, 지평선 또는 수평선을 바라보았으며, 태양광선에 굴절이 없고 태양의 공전면 원이고 공전 속도가 일정할 때를 가정한 것이다. 관찰자가 평평한 지면에서 태양을 바라볼 때를 빼고 나머지를 모두 고려하면, 다음과 같이 계산식이 수정된다. 우선, 태양광선은 대기권을 통과하면서 굴절이 되므로, 위의 식은 다음과 같이 고칠 수 있다.

 

cos(w) = ( sin(a) - sin(delta) * sin(theta) ) / ( cos(delta) * cos(theta) )

 

여기서 a는 태양광선굴절에 대한 매개변수(parameter)로-0.83도 이다. 이를 고려하여, 위의 예, 북위 37.5도에 위치한 서울에서의 시간각은 +71.7도/-71.7가 나온다. 따라서 해지는 시각은 오후 5시 19분이고, 해뜨는 시각은 오전 7시 45분이다.

 

 한편, 태양의 적위 delta는 다음과 같이 아주 복잡한 방법으로 계산한다.

 

delta = sin^-1 ( sin( M + 102.9372 + 1.9148 * sin(M) + 0.0200 * sin(2M) + 0.0003 * sin(3M) + 180 ) * sin(23.45) )

 

여기서,

 

M = 357.5291 + 0.98560028 * ( J - 2451545 )

 

M은 태양 위치에 대한 매개변수(parameter)이고, J는 줄리안 데이트(Julian date number)로서, 기원전 4713년 1월 1일 정오(UTC)부터 해당되는 날짜까지의 날수이다. 참고로, 2451545는 2000년 1월 1일에 대한 줄리안 데이트이다